Միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի խնդիրը ճագարների մասին

2024 Հեղինակ: Malcolm Clapton | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 04:00

Հաշվեք, թե ինչ սերունդ կտա զույգ կենդանիները մինչև հաջորդ տարվա սկիզբ։

Լեոնարդո Ֆիբոնաչի միջնադարյան նշանավոր մաթեմատիկոս էր։ Ենթադրվում է, որ հենց նա է օգտագործել արաբական թվանշանները: The Book of the Abacus-ում, մի աշխատություն, որը բացատրում և խթանում է տասնորդական թվաբանությունը, Ֆիբոնաչի տալիս է իր հայտնի խնդիրը նապաստակների վերաբերյալ: Փորձեք լուծել այն:

Հունվարի սկզբին մի զույգ նորածին ճագարներ (արու և էգ) դրեցին գրիչի մեջ՝ բոլոր կողմերից ցանկապատված։ Քանի՞ զույգ նապաստակ կարտադրեն հաջորդ տարվա սկզբին: Անհրաժեշտ է հաշվի առնել հետևյալ պայմանները.

• Ճագարները սեռական հասունության են հասնում ծնվելուց երկու ամիս հետո, այսինքն՝ կյանքի երրորդ ամսվա սկզբին։
• Ամեն ամսվա սկզբին յուրաքանչյուր սեռական հասուն զույգ ծնում է միայն մեկ զույգ։
• Կենդանիները միշտ ծնվում են զույգերով՝ «մեկ էգ + մեկ արու»։
• Նապաստակները անմահ են, գիշատիչները չեն կարող ուտել նրանց:

Տեսնենք, թե ինչպես է աճում նապաստակների թիվը առաջին վեց ամիսներին.

Ամիս 1. Մեկ զույգ երիտասարդ նապաստակ.

Ամիս 2. Դեռ կա մեկ օրիգինալ զույգ։ Ճագարները դեռ չեն հասել պտղաբերության տարիքին։

Ամիս 3. Երկու զույգ՝ բնօրինակը՝ վերարտադրողական տարիքի հասած + մի զույգ երիտասարդ նապաստակ, որին նա ծնեց։

Ամիս 4. Երեք զույգ՝ մեկ օրիգինալ զույգ + մեկ զույգ նապաստակ, որին նա ծնել է ամսվա սկզբին + մեկ զույգ նապաստակ, որոնք ծնվել են երրորդ ամսում, բայց դեռ չեն հասել սեռական հասունացմանը։

Ամիս 5. Հինգ զույգ՝ մեկ օրիգինալ զույգ + երրորդ ամսում ծնված և պտղաբերության տարիքի մեկ զույգ + երկու նոր զույգ, որոնց նրանք ծնել են + մեկ զույգ, որը ծնվել է չորրորդ ամսում, բայց դեռ չի հասել հասունացմանը։

Ամիս 6. Ութ զույգ՝ հինգ զույգ անցյալ ամսից + երեք նորածին զույգ։ և այլն:

Ավելի պարզ դարձնելու համար ստացված տվյալները գրենք աղյուսակում.

Եթե ուշադիր ուսումնասիրեք աղյուսակը, կարող եք բացահայտել հետևյալ օրինակը. Ամեն անգամ, երբ n-րդ ամսում առկա ճագարների թիվը հավասարվում է նախորդ (n - 1) ամսվա ճագարների թվին` ամփոփված նոր ծնված ճագարների թվով: Նրանց թիվն իր հերթին հավասար է կենդանիների ընդհանուր թվին (n - 2) ամսվա դրությամբ (որը եղել է երկու ամիս առաջ)։ Այստեղից կարող եք դուրս բերել բանաձևը.

Ֆ = Ֆ_n-1+ Ֆ_n-2, որտեղ Ֆ - n-րդ ամսում ճագարների զույգերի ընդհանուր թիվը, Ֆ_n-1 նախորդ ամսվա ընթացքում նապաստակների զույգերի ընդհանուր թիվն է, իսկ Ֆ_n-2 - երկու ամիս առաջ նապաստակների զույգերի ընդհանուր թիվը:

Հաշվենք այն օգտագործող կենդանիների թիվը հետևյալ ամիսներին.

Ամիս 7. 8 + 5 = 13.

Ամիս 8. 13 + 8 = 21.

Ամիս 9. 21 + 13 = 34.

Ամիս 10. 34 +21 = 55.

Ամիս 11. 55 + 34 = 89.

Ամիս 12. 89 + 55 = 144.

Ամիս 13 (հաջորդ տարվա սկիզբ). 144 + 89 = 233.

13-րդ ամսվա սկզբին, այսինքն՝ տարեվերջին կունենանք 233 զույգ ճագար։ Նրանցից 144-ը կլինեն չափահաս, իսկ 89-ը՝ երիտասարդ։ Ստացված 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 հաջորդականությունը կոչվում է Ֆիբոնաչիի թվեր։ Դրանում յուրաքանչյուր նոր վերջնական թիվ հավասար է երկու նախորդների գումարին։

Ցույց տալ պատասխանը Թաքցնել պատասխանը