Մերկ վիճակագրությունը ամենահետաքրքիր գիրքն է ամենաձանձրալի գիտության մասին

2024 Հեղինակ: Malcolm Clapton | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 03:59

Ո՞վ ասաց, որ վիճակագրությունը ձանձրալի և անպետք գիտություն է: Չարլզ Ուիլանը համոզիչ կերպով պնդում է, որ դա հեռու է դեպքից։ Այսօր մենք հրապարակում ենք նրա գրքից մի հատված այն մասին, թե ինչպես կարելի է շահել մեքենա, ոչ թե այծ, օգտագործելով վիճակագրությունը, և հասկանալ, որ ինտուիցիան կարող է մոլորեցնել ձեզ:

Մոնթի Հոլլի հանելուկ

Monty Hall Mystery-ը հավանականությունների տեսության հայտնի խնդիր է, որը շփոթեցրեց մասնակիցներին «Let’s Make a Deal» կոչվող խաղային շոուի մասնակիցներին, որը դեռ հայտնի է մի քանի երկրներում, որի պրեմիերան տեղի ունեցավ Միացյալ Նահանգներում 1963 թվականին: (Հիշում եմ ամեն անգամ, երբ մանկուց դիտել էի այս հաղորդումը, երբ հիվանդության պատճառով դպրոց չէի գնացել:) Գրքի ներածության մեջ արդեն մատնանշեցի, որ այս խաղային շոուն կարող է հետաքրքիր լինել վիճակագիրների համար։ Իր յուրաքանչյուր թողարկման վերջում եզրափակիչ հասած մասնակիցը Մոնթի Հոլի հետ կանգնեց երեք մեծ դռների առաջ՝ թիվ 1, դուռ թիվ 2 և դուռ թիվ 3: Մոնթի Հոլը բացատրեց եզրափակիչ մասնակցին, որ մեկի հետևում. Այս դռներից շատ արժեքավոր մրցանակ էր, օրինակ՝ նոր մեքենան և մյուս երկուսի հետևում այծը: Եզրափակչի մասնակիցը պետք է ընտրեր դռներից մեկը և ստանար այն, ինչ դրա հետևում էր: (Չգիտեմ՝ շոուի մասնակիցների մեջ կա՞ր գոնե մեկ մարդ, ով ցանկանում էր այծ ձեռք բերել, բայց պարզության համար կենթադրենք, որ մասնակիցների ճնշող մեծամասնությունը երազում էր նոր մեքենայի մասին)։

Հաղթելու նախնական հավանականությունը բավականին հեշտ է որոշել: Երեք դուռ կա, երկուսը` այծ, իսկ երրորդը` մեքենա: Երբ շոուի մասնակիցը Մոնթի Հոլի հետ կանգնում է այս դռների առաջ, նա երեք հնարավորություններից մեկն ունի ընտրելու այն դուռը, որի հետևում գտնվում է մեքենան: Բայց, ինչպես նշվեց վերևում, Let’s Make a Deal-ում կա մի բան, որը հավերժացրեց այս հեռուստահաղորդումը և դրա հաղորդավարը հավանականությունների տեսության գրականության մեջ: Այն բանից հետո, երբ շոուի եզրափակիչ մասնակիցը մատնացույց է անում երեք դռներից մեկը, Մոնթի Հոլը բացում է մնացած երկու դռներից մեկը, որի հետևում միշտ կա այծ։ Այնուհետ Մոնթի Հոլը հարցնում է եզրափակիչի մասնակցին, արդյոք նա ցանկանում է փոխել իր միտքը, այսինքն՝ հրաժարվել նախկինում ընտրված փակ դռնից՝ հօգուտ մեկ այլ փակ դռան։

Օրինակի համար ասենք, որ մասնակիցը մատնացույց արեց թիվ 1 դուռը: Այնուհետև Մոնթի Հոլը բացեց թիվ 3 դուռը, որի հետևում թաքնված էր այծը: Երկու դուռ՝ թիվ 1 և դուռ թիվ 2, մնում են փակ։ Եթե արժեքավոր մրցանակը լիներ 1-ին դռան ետևում, եզրափակիչի մասնակիցը կհաղթեր այն, իսկ եթե այն լիներ 2-րդ դռան հետևում, ապա նա կպարտվեր: Հենց այս պահին Մոնթի Հոլը հարցնում է խաղացողին, թե արդյոք նա ցանկանում է փոխել իր նախնական ընտրությունը (այս դեպքում հրաժարվել # 1 դռնից՝ հօգուտ 2-րդ դռան): Դուք, իհարկե, կհիշեք, որ երկու դռներն էլ դեռ փակ են։ Միակ նոր տեղեկությունը, որ ստացել է մասնակիցը, այն էր, որ այծը հայտնվել է երկու դռներից մեկի հետևում, որոնք ինքը չի ընտրել:

Եզրափակիչ մասնակիցը պե՞տք է հրաժարվի նախնական ընտրությունից հօգուտ 2-րդ դռան:

Պատասխանում եմ՝ այո, պետք է։ Եթե նա մնում է սկզբնական ընտրությանը, ապա արժեքավոր մրցանակ շահելու հավանականությունը կլինի ⅓; եթե նա փոխի իր միտքը և ցույց տա թիվ 2 դուռը, ապա արժեքավոր մրցանակ շահելու հավանականությունը կլինի ⅔: Եթե չեք հավատում ինձ, կարդացեք:

Ես ընդունում եմ, որ այս պատասխանը հեռու է առաջին հայացքից ակնհայտ լինելուց։ Թվում է, թե եզրափակչի մասնակիցը մնացած երկու դռներից որն էլ ընտրի, երկու դեպքում էլ արժեքավոր մրցանակ ստանալու հավանականությունը ⅓ է։ Երեք փակ դուռ կա։ Սկզբում հավանականությունը, որ դրանցից որևէ մեկի հետևում թաքնված է արժեքավոր մրցանակ, ⅓ է։ Եզրափակչի մասնակցի որոշումը՝ փոխել իր ընտրությունը հօգուտ մեկ այլ փակ դռան, որևէ տարբերություն կա՞:

Իհարկե, քանի որ գրավիչն այն է, որ Մոնթի Հոլը գիտի, թե ինչ է թաքնված յուրաքանչյուր դռան հետևում:Եթե եզրափակչի մասնակիցն ընտրի Դուռը թիվ 1-ը, և դրա հետևում իսկապես մեքենա կա, Մոնթի Հոլը կարող է բացել կամ թիվ 2 դուռը կամ 3-րդ դուռը՝ բացահայտելու դրա հետևում թաքնված այծը:

Եթե եզրափակչի մասնակիցը ընտրի Դուռ 1, իսկ մեքենան գտնվում է 2-րդ դռան հետևում, ապա Monty Hall-ը կբացի դուռը 3:

Եթե եզրափակիչ մասնակիցը մատնացույց է անում 1-ին դուռը, իսկ մեքենան գտնվում է 3-րդ դռան հետևում, ապա Monty Hall-ը կբացի դուռը 2-ը:

Փոխելով իր միտքը այն բանից հետո, երբ հաղորդավարը բացում է դռներից մեկը, եզրափակիչի մասնակիցը առավելություն է ստանում մեկի փոխարեն ընտրել երկու դուռ: Ես կփորձեմ ձեզ համոզել այս վերլուծության ճիշտության մեջ երեք տարբեր ձևերով։

Առաջինը էմպիրիկ է: 2008 թվականին New York Times-ի սյունակագիր Ջոն Թայերնին գրել է Մոնթի Հոլի ֆենոմենի մասին։ Դրանից հետո հրատարակության աշխատակազմը մշակել է ինտերակտիվ ծրագիր, որը թույլ է տալիս խաղալ այս խաղը և ինքնուրույն որոշել՝ փոխել ձեր նախնական ընտրությունը, թե ոչ։ (Ծրագիրը նախատեսում է նույնիսկ փոքրիկ այծեր և փոքր մեքենաներ, որոնք հայտնվում են դռների հետևից:) Ծրագիրը գրանցում է ձեր շահումները այն դեպքում, երբ դուք փոխեք ձեր նախնական ընտրությունը, և այն դեպքում, երբ դուք մնում եք անհամոզված: Ես վճարեցի իմ դուստրերից մեկին այս խաղը խաղալու համար 100 անգամ՝ ամեն անգամ փոխելով իր սկզբնական ընտրությունը: Ես նաև վճարել եմ նրա եղբորը, որպեսզի խաղը խաղա 100 անգամ՝ ամեն անգամ պահպանելով նախնական որոշումը։ Դուստրը հաղթել է 72 անգամ; նրա եղբայրը 33 անգամ: Յուրաքանչյուր ջանք պարգևատրվում էր երկու դոլարով:

«Let’s Make a Deal» խաղի դրվագներից ստացված ապացույցները ցույց են տալիս նույն օրինակը: Ըստ Լեոնարդ Մլոդինովի՝ «Հարբեցողի քայլքը» գրքի հեղինակ, այն եզրափակիչի մասնակիցները, ովքեր փոխել են իրենց նախնական ընտրությունը, մոտ երկու անգամ ավելի հավանական է հաղթել, քան նրանք, ովքեր համոզված չեն եղել:

Այս երեւույթի իմ երկրորդ բացատրությունը հիմնված է ինտուիցիայի վրա: Ասենք՝ խաղի կանոնները մի փոքր փոխվել են։ Օրինակ, եզրափակիչ մասնակիցը սկսում է՝ ընտրելով երեք դռներից մեկը՝ դուռ # 1, դուռ # 2 և դուռ # 3, ինչպես ի սկզբանե նախատեսված էր: Այնուամենայնիվ, այնուհետև, նախքան դուռը բացելը, որոնց հետևում թաքնվում է այծը, Մոնթի Հոլը հարցնում է. «Համաձա՞յն եք հրաժարվել ձեր ընտրությունից՝ մնացած երկու դռները բացելու դիմաց»: Այսպիսով, եթե ընտրել եք դուռ # 1, կարող եք փոխել ձեր կարծիքը հօգուտ Դռների # 2-ի և Դռների # 3-ի: Եթե նախ մատնանշել եք Դռների # 3-ը, կարող եք ընտրել Դռներ # 1 և Դռներ # 2: Եվ այլն:

Սա առանձնապես դժվար որոշում չի լինի ձեզ համար. միանգամայն ակնհայտ է, որ դուք պետք է հրաժարվեք նախնական ընտրությունից՝ հօգուտ մնացած երկու դռների, քանի որ դա մեծացնում է հաղթելու հնարավորությունները ⅓-ից մինչև ⅔: Ամենահետաքրքիրն այն է, որ հենց սա է, ըստ էության, որ Monty Hall-ը ձեզ առաջարկում է իրական խաղում, այն դուռը բացելուց հետո, որի հետևում թաքնվում է այծը։ Հիմնարար փաստն այն է, որ եթե քեզ հնարավորություն տրվեր ընտրել երկու դուռ, ամեն դեպքում դրանցից մեկի հետևում այծ կթաքցնեն։ Երբ Monty Hall-ը բացում է դուռը, որի հետևում այծն է, և միայն դրանից հետո հարցնում է, թե համաձայն եք փոխել ձեր նախնական ընտրությունը, դա զգալիորեն մեծացնում է արժեքավոր մրցանակ շահելու ձեր հնարավորությունները: Ըստ էության, Մոնթի Հոլը ձեզ ասում է. «Երկու դռներից մեկի հետևում թաքնված արժեքավոր մրցանակի հավանականությունը, որը դուք չեք ընտրել առաջին անգամ, ⅔ է, որը դեռ ավելին է, քան ⅓»:

Դուք կարող եք դա պատկերացնել այսպես. Ենթադրենք, դուք մատնացույց արեցիք թիվ 1 դուռը: Դրանից հետո Monty Hall-ը ձեզ հնարավորություն է տալիս հրաժարվել նախնական որոշումից հօգուտ 2-րդ և 3-րդ դռների: Դուք համաձայնում եք և ունեք երկու դուռ ձեր տրամադրության տակ, ինչը նշանակում է, որ ունեք: ամեն պատճառով ակնկալում եք շահել արժեքավոր մրցանակ ⅔, ոչ թե ⅓ հավանականությամբ: Ի՞նչ կլիներ, եթե այս պահին Մոնթի Հոլը բացեր 3-րդ դուռը՝ «ձեր» դռներից մեկը, և դրա հետևում մի այծ լիներ։ Այս փաստը կսասանի՞ ձեր վստահությունը ձեր որոշման նկատմամբ: Իհարկե ոչ. Եթե մեքենան թաքնվեր 3-րդ դռան հետևում, Մոնթի Հոլը կբացեր 2-րդ դուռը: Նա քեզ ոչինչ ցույց չէր տա:

Երբ խաղն ընթանում է տապալման սցենարի համաձայն, Monty Hall-ը ձեզ իսկապես հնարավորություն է տալիս ընտրություն կատարել սկզբում նշած դռան և մնացած երկու դռների միջև, որոնցից մեկը կարող է լինել մեքենա: Երբ Մոնթի Հոլը բացում է դուռը, որի հետևում թաքնված է այծը, նա պարզապես լավություն է անում ձեզ՝ ցույց տալով, թե մյուս երկու դռներից որն է մեքենան: Հետևյալ երկու սցենարներում էլ հաղթելու նույն հավանականությունն ունես։

1. Ընտրելով թիվ 1 դուռը, այնուհետև համաձայնվում է «անցել» դռան թիվ 2-ին և դռան 3-ին, նույնիսկ նախքան որևէ դուռ բացվելը:
2. Ընտրելով # 1 դուռը, այնուհետև համաձայնելով «անցել» դռան # 2-ին այն բանից հետո, երբ Monty Hall-ը ցույց կտա ձեզ այծը # 3 դռան հետևում (կամ ընտրելով #3 դուռը այն բանից հետո, երբ Monty Hall-ը ցույց կտա ձեզ այծը # 2 դռան հետևում):

Երկու դեպքում էլ սկզբնական որոշումից հրաժարվելը ձեզ երկու դռների առավելություն է տալիս մեկի նկատմամբ, և այդպիսով դուք կարող եք կրկնապատկել հաղթելու ձեր հնարավորությունները ⅓-ից մինչև ⅔:

Իմ երրորդ տարբերակը նույն հիմնական ինտուիցիայի ավելի արմատական տարբերակն է: Ենթադրենք, Monty Hall-ը խնդրում է ձեզ ընտրել 100 դռներից մեկը (երեքից մեկի փոխարեն): Դա անելուց հետո ասեք՝ մատնացույց անելով թիվ 47 դուռը, նա բացում է մնացած 98 դռները, որոնք կբացահայտեն այծերը: Այժմ փակ է մնացել միայն երկու դուռ՝ ձեր թիվ 47 դուռը և մյուսը, օրինակ՝ թիվ 61 դուռը։ Արդյո՞ք պետք է հրաժարվեք ձեր նախնական ընտրությունից։

Իհարկե այո։ 99 տոկոս հավանականություն կա, որ մեքենան գտնվում է այն դռներից մեկի հետևում, որը դուք սկզբում չեք ընտրել: Monty Hall-ը ձեզ բարեհաճեց՝ բացելով այս դռներից 98-ը, նրանց հետևում մեքենա չկար: Այսպիսով, 100-ից միայն 1-ն է հավանականությունը, որ ձեր նախնական ընտրությունը (դուռ # 47) ճիշտ կլինի: Միևնույն ժամանակ, 100-ից 99-ի հավանականությունը կա, որ ձեր նախնական ընտրությունը սխալ է եղել: Եթե այո, ապա մեքենան գտնվում է մնացած դռան հետևում, այսինքն՝ թիվ 61 դռան հետևում։ Եթե ցանկանում եք խաղալ 100-ից 99 անգամ հաղթելու հավանականությամբ, ապա պետք է «անցեք» դռան թիվ 61-ին։

Մի խոսքով, եթե երբևէ ստիպված լինեք խաղալ Let’s Make a Deal, դուք անպայման պետք է հետ կանգնեք ձեր սկզբնական որոշումից, երբ Monty Hall-ը (կամ ով կփոխարինի նրան) ձեզ ընտրություն տա: Այս օրինակից ավելի համընդհանուր եզրակացությունն այն է, որ որոշակի իրադարձությունների հավանականության մասին ձեր ինտուիտիվ գուշակությունները երբեմն կարող են մոլորեցնել ձեզ: